RELACIONES Y LEYES LÓGICAS

  • IMPLICACIÓN

En matemáticas y en otras ciencias encontramos con mucha frecuencia expresiones con estructura condicional y en las que el operador: "si....entonces" tiene un alcance mucho más profundo que el de simple unión o conexión entre dos proposiciones para formar una proposición compuesta. Dicho condicional toma entonces, el sentido de implicación, a través de la cual se establece una relación de dependencia, causalidad, consecuencia o deducción entre el antecedente y el consecuente. Los teoremas de carácter universal y en especial los teoremas matemáticos tienen estructura formal de implicaciones.



Definición: dadas dos proposiciones p y q, se dice que la proposición p implica (lógicamente o estrictamente) a la proposición q o que q se deduce (lógicamente) de p, o que q es consecuencia (lógica) de p, si no se unifica que p sea verdadera y q falsa.
La definición anterior también podemos enunciarla así: "Una proposición p implica a otra q si q es verdadera siempre que p sea verdadera" es decir: q es verdadera en todos los casos lógicamente posibles en los cuales p es verdadera.


Notación: las relaciones p implica a q y p no implica a q se anotan respectivamente.

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en tal caso p es el antecedente y q es el consecuente de la implicación. En matemática el antecedente p de la implicación p => q es llamado hipótesis y el consecuente es llamado conclusión o tesis. Por tanto los teoremas matemáticos tienen la estructura H => T, donde H es la hipótesis y T la conclusión o tesis del teorema.

Ejemplo 3 y 4


  • EQUIVALENCIA

Cuando se afirma que dos proposiciones p y q son equivalentes (lógicamente) se excluye la posibilidad de que una sea verdadera y la otra falsa; por lo tanto una equivalencia nos afirma que sus miembros izquierdo y derecho son o bien ambos verdaderos o bien ambos falsos, es decir las proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad en cada caso.

Notación: las relaciones "p es equivalente a q" y "p no es equivalente a q" se anotan respectivamente:

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Para determinar que dos esquemas proposicionales cuyas componentes corresponden a las mismas proposiciones, son equivalentes, basta examinar si sus tablas de verdad son iguales.

Ejemplo5

Expresiones usuales sinónimas de la equivalencia

Cuando se tiene la expresión p <=> q, que leemos "p es equivalente a q" frecuentemente encontramos, sobre todo en las definiciones y en algunos teoremas de matemática, expresiones con el mismo significado. Así:

  • p es condición necesaria y suficiente para q
  • q es condición necesaria y suficiente para p
  • p cuando, y sólo cuando q
  • p sí, y únicamente si q